Задание № 112 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян)

OnlineGDZ
Видео решение задания Геометрия 10 класс (Атанасян)
✅ Задание № 112
Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.


Вариант ответа 1 из 3
К сожалению, ты уже отдал голос за это, или другое решение :(

Вариант ответа 2 из 3
К сожалению, ты уже отдал голос за это, или другое решение :(

Вариант ответа 3 из 3
К сожалению, ты уже отдал голос за это, или другое решение :(

Такой факт можно доказать при помощи векторов. Но можно использовать в качестве известного аналогичное утверждение о диагоналях параллелограмма: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин сторон.
Пусть дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Ясно, что AA1C1C -- параллелограмм, из которого AC21+A1C2=AA21+A1C21+CC21+AC2, и аналогично для параллелограмма BB1D1D получится BD21+B1D2=BB21+B1D21+DD21+BD2. Эти равенства надо сложить, и в левой части получится сумма квадратов длин четырех диагоналей параллелепипеда. В правой части у нас уже присутствуют квадраты длин четырёх боковых рёбер. Теперь надо рассмотреть верхнюю и нижнюю грань, и применить то же свойство параллелограмма. Это даст AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2, и аналогично для букв с индексами. В итоге получится сумма квадратов длин всех 12 рёбер.

✅ Тут можно быстро переключиться на другой номер из этого параграфа.

Дополнительные задачи

Похожие решебники