Задание № 108 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян)


Видео решение задания Геометрия 10 класс (Атанасян)
✅ Задание № 108
B тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, CA и AB соответственно в точках A1, B1 и C1. Докажите, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.


Вариант ответа 1 из 3
К сожалению, ты уже отдал голос за это, или другое решение 🙁

Вариант ответа 2 из 3
К сожалению, ты уже отдал голос за это, или другое решение 🙁

Вариант ответа 3 из 3
К сожалению, ты уже отдал голос за это, или другое решение 🙁

Отложим от т. D на ребрах DA, DB, DC равные отрезки: DA' = DB' = =DC' = a. Соединим точки A', B' и C' отрезками. Нарисуем ограниченную этими отрезками часть тетраэдра, для удобства «положив» его на одну из боковых граней.
Проведем биссектрисы двух углов при вершине D: DE и DF; проведем отрезки C'E и A'F.
В ΔA'DB' DA' = DB' и DE является медианой, следовательно, EA' = BE (т.к. A A'DB' равнобедренный).
В ΔA'B'C' отрезки C'E и A'F являются медианами.
Чтобы на загромождать рисунок, не показана биссектриса ∠A'DC'. Если для нее повторить рассуждения, то убедимся, что отрезок, исходящий из B' в точку, где биссектриса пересечет сторону A'C', будет третьей медианой в ΔAB'C'. А три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Таким образом, плоскости DEC', DFA' и третья, не показанная на рисунке, пересекаются на рисунке по прямой DO.
Уберем ограничение, что DA' = DB' = DC'. Факт, что плоскости пересекаются по прямой DO, останется верным.
Равные отрезки от вершины D можно отложить в любом тетраэдре, поэтому на строгость (или общность) доказательства это повлиять не может.
Раз указанные плоскости пересекаются по прямой DО, то эта прямая пересечется с плоскостью основания в некоторой точке, значит, все три отрезка АА1, СС1 и ВВ1 проходят через нее.
Что и требовалось доказать.

✅ Тут можно быстро переключиться на другой номер из этого параграфа.

Дополнительные задачи

✅ Ждем твоих предложений, пожеланий и добрых слов)

Похожие решебники